Construções com régua e compasso - MIGUEL, Marcos José (2018)
Os problemas de construções sempre ocuparam posição de destaque na Geometria. Apenas com o uso de régua e compasso podemos executar uma diversidade enorme de construções e em todas essas construções, a régua é utilizada apenas para traçar retas. Apesar de os gregos utilizarem outros instrumentos, a restrição clássica à utilização apenas da régua e do compasso era para eles um assunto de grande importância. Entre os problemas de construção com régua e compasso, o de construir um polígono regular de n lados é provavelmente o de maior interesse. As construções do triângulo equilátero, do quadrado, do pentágono regular e do hexágono regular são conhecidas desde a Antiguidade e ocupam (ou já ocuparam) posição de destaque no estudo da geometria nas escolas. No entanto, para alguns polígonos regulares essas construções (apenas com o uso de régua e compasso) não são possíveis. Como exemplo inicial podemos citar o heptágono regular. Existem outros problemas de construções que merecem posição de destaque e para os quais uma construção com régua e compasso não é possível. Como exemplos podemos citar os três problemas clássicos dos gregos: a duplica ção do cubo (ou a construção da aresta de um cubo cujo volume é o dobro do de um cubo de aresta dada), a trissecção de um ângulo qualquer (ou a construção de dividir um ângulo arbitrário dado, em três partes iguais) e a quadratura do círculo (ou a construção de um quadrado com área igual à área de um círculo dado). A importância do estudo desses problemas reside no fato de que eles não podem ser resolvidos com régua e compasso apenas, apesar desses instrumentos serem utilizados para resolver muitos outros problemas de construção. A tentativa de encontrar solução para esses problemas in uenciou a geometria grega, levando a descobertas importantes. Como exemplos dessas descobertas podemos citar as secções cônicas, algumas curvas cúbicas e quárticas e várias curvas transcendentes. Posteriormente um resultado de grande importância foi o desenvolvimento da teoria das equações ligadas a domínios de racionalidade, números algébricos e teoria dos grupos. Notamos com isso que a tentativa de resolver problemas como esses sem solução resultou em um dos mais signi cativos desenvolvimentos da Matemática. A proposta dessa dissertação é mostrar algumas construções clássicas, como a do heptadecágono regular e tratar da impossibilidade da construção por meio de régua e compasso, tais como duplicação de um cubo, trissecção de um ângulo, quadratura de um círculo (nesse caso faremos apenas a indicação da prova) e construções de polígonos regulares.