Dynamics of the Ising model on heterogeneous random graphs with arbitrary threshold noise - Ferreira, Leonardo dos Santos (2023)
Fenômenos coletivos em redes complexas vem se tornando cada vez mais importantes na ciência moderna. Enquanto estudos analíticos nesta área se limitam essencialmente à redes homogêneas, onde o número de conexões por nó não varia, redes complexas reais são heterogêneas e, portanto, seu estudo é feito principalmente através de técnicas de simulação e análise de dados. Neste trabalho, resolvemos analiticamente a dinâmica paralela do modelo de Ising em um ensemble de redes complexas com uma distribuição arbitrária no número de conexões por sítio, valida no limite de alta conectividade. Dependendo da distribuição de ruído de limiar, que mimetiza o efeito do banho térmico, o sistema pode evoluir para estados estacionários de não equilíbrio, uma vez que a forma explícita da distribuição de ruído de limiar determina a forma da distribuição de estados microscópicos. Nosso resultado principal é um par de equações que descreve a dinâmica da magnetização global do sistema em termos das distribuições de grau e de ruído de limiar. No limite de tempos longos, essas equações permitem determinar a temperatura crítica da transição contínua entre as fases ferromagnética e paramagnética. Mostramos que a temperatura crítica depende da variância da distribuição de graus e do comportamento da distribuição do ruído de limiar próxima a zero. O foco deste trabalho está no cálculo dos expoentes críticos, tanto estacionários quanto dinâmicos, para a magnetização global e para a variância da distribuição das magnetizações locais, no caso em que os graus seguem uma distribuição binomial negativa. Esta escolha da distribuição de graus é conveniente pois permite parametrizar a heterogeneidade da rede em termos de um único parâmetro. Para uma distribuição de ruído de limiar dada por uma tangente hiperbólica, que promove balanço detalhado, os expoentes críticos estacionários e dinâmicos da magnetização assumem os valores usuais da teoria de campo médio homogênea. Já para uma distribuição de ruído algébrica, o balanço detalhado é quebrado, e os expoentes críticos são determinados pela cauda da distribuição de ruído de limiar. Por fim, mostramos que, a medida que o sistema se aproxima da temperatura crítica, o tempo de relaxação da magnetização em cada fase diverge de acordo com valores típicos de teorias de campo médio homogêneas independentemente da distribuição de ruído de fundo. Com esses resultados, evidenciamos a importância das flutuações de grau e de ruído térmico na dinâmica do modelo de Ising, dando um passo a mais na direção da descrição teórica de modelos em redes complexas reais. Em geral, nós mostramos que os expoentes críticos não dependem da heterogeneidade da rede, mas dependem apenas da distribuição de ruído de limiar.