Órbitas quirais, classes de conjugação e dinâmica holomórfica sem pontos críticos - Endler, Antônio (2006)
Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos.