Domínios intervalares da matemática computacional - Dimuro, Gracaliz Pereira (1991)
Fundamentada a importância da utilização da Teoria dos Intervalos em computação científica, é realizada uma revisão da Teoria Clássica dos Intervalos, com críticas sobre as incompatibilidades encontradas como motivos de diversas dificuldades para desenvolvimento da própria teoria e, consequentemente, das Técnicas Intervalares. É desenvolvida uma nova abordagem para a Teoria dos Intervalos de acordo com a Teoria dos Domínios e a proposta de [ACI 89], obtendo-se os Domínios Intervalares da Matemática Computacional. Introduz-se uma topologia (Topologia de Scott) compatível com a idéia de aproximação, gerando uma ordem de informação, isto é, para quaisquer intervalos x e y, diz-se que se x -c y , então y fornece mais (no mínimo tanto quanto) informação, sobre um real r, do que x. Prova-se que esta ordem de informação induz uma topologia To (topologia de Scott) , que é mais adequada para uma teoria computacional que a topologia da Hausdorff introduzida por Moore [MOO 66]. Cada número real r é aproximado por intervalos de extremos racionais, os intervalos de informação, que constituem o espaço de informação II(Q), superando assim a regressão infinita da abordagem clássica. Pode-se dizer que todo real r é o supremo de uma cadeia de intervalos com extremos racionais “encaixados”. Assim, os reais são os elementos totais de um domínio contínuo, chamado de Domínio dos Intervalos Reais Parciais, cuja base é o espaço de informação II (Q). Cada função contínua da Análise Real é o limite de sequências de funções contínuas entre elementos da base do domínio. Toda função contínua nestes domínios constitui uma função monotônica na base e é completamente representada em termos finitos. É introduzida uma quasi-métrica que induz uma topologia compatível com esta abordagem e provê as propriedades quantitativas, além de possibilitar a utilização da noção de sequências, limites etc, sem que se precise recorrer a conceitos mais complexos. Desenvolvem-se uma aritmética, critérios de aproximação e os conceito de intervalo ponto médio, intervalo valor absoluto e intervalo diâmetro, conceitos compatíveis com esta abordagem. São acrescentadas as operações de união, interseção e as unárias. Apresenta-se um amplo estudo sobre a função intervalar e a inclusão de imagens de funções, com ênfase na obtenção de uma extensão intervalar natural contínua. Esta é uma abordagem de lógica construtiva e computacional.