Polinômios ortogonais e a integração numérica na esfera unitária - Nenê, Josadaque da Silva (2020)
Neste trabalho, são abordados os esquemas de quadraturas para integração na esfera unitária denominados Legendre-Chebyshev Quadrangular (PNTN), Legendre-Chebyshev Triangular (PNTNSN) e Quadruple Range (QR). Tais esquemas são definidos como o produto de duas quadraturas gaussianas unidimensionais, uma associada a variável polar e outra associada a variável azimutal, que definem a direção das partículas na equação de transporte. As quadraturas PNTN e PNTNSN são construídas a partir das quadraturas de Gauss-Legendre e Gauss-Chebyshev, e se diferenciam pela forma como são combinadas as ordens das quadraturas unidimensionais utilizadas. Já a quadratura QR foi desenvolvida para o tratamento de problemas bidimensionais de transporte de partículas, e sua construção envolve a resolução de sistemas não lineares mal-condicionados. Contudo, as dificuldades encontradas na resolução dos sistemas não lineares são contornadas pela utilização de polinômios ortogonais não clássicos, transformando a obtenção dos nós e pesos da quadratura QR em um problema de autovalores de matrizes tridiagonais simétricas. Seguindo as ideias apresentadas na literatura para a geração das quadraturas QR via polinômios ortogonais não clássicos, são desenvolvidas duas variantes, resultando em dois novos conjuntos de quadratura para a variável azimutal. Além delas, também é proposta uma quadratura produto baseada na QR, que leva em conta a presença de uma singularidade azimutal. Como parte fundamental deste trabalho, é implementado na linguagem Fortran 95 versões em precisão simples, dupla e quádrupla dos algoritmos usados na construção das quadraturas, produzindo uma biblioteca de funções para a geração das mesmas. Com esta biblioteca, é possível obter tais quadraturas de forma rápida e com ordem arbitrária. Também é analisado o desempenho dos diferentes esquemas de quadraturas ao integrar polinômios nos cossenos diretores, tanto no octante principal quanto na esfera unitária, observando assim que os códigos implementados geram resultados de precisão elevada. Para a integração no octante principal, os esquemas QR que utilizam a quadratura Azimutal-QRS45 e Azimutal-QRA45 se mostraram os mais adequados considerando a precisão nos resultados obtidos e o baixo tempo computacional. Para a esfera unitária, os esquemas PNTN e QRJ45m_QN apresentaram resultados mais precisos, juntamente de um baixo tempo computacional. Além disso, tanto no octante principal quanto na esfera unitária, os esquemas QR baseados na quadratura Azimutal-QRS45 mostraram resutados mais precisos e tempos computacionais semelhentes aos esquemas baseados na quadratura Azimutal-QRA45.