Homogeneização da equação de difusão com fluxo não linear e energia limitada em meios microperiódicos - Lima, Marcos Pinheiro de (2020)
O presente trabalho apresenta a aplicação de duas técnicas de homogeneização, comumente utilizadas em problemas sob meio periódico, o Método de Homogeneização Assintótica (MHA) e o Método de Convergência em Duas Escalas (MCDE). Técnicas de homogeneização têm como intuito estudar ou resolver problemas que ocorrem em meios heterogˆeneos, determinísticos ou aleatórios, periódicos ou não. Os fenômenos que ocorrem nestes meios geralmente são descritos por equações diferenciais com coeficientes que variam rapidamente com relação à posição. Em particular, são estudados fenômenos de transporte modelados pela equação da difusão com fluxo linear e não linear, com coeficientes periódicos e que variam na microescala de forma determinística. A escolha das duas técnicas se dá pelas abordagens diferentes e resultados similares, senão idênticos. Na teoria do MHA, o problema linear é bem consolidado pois, além do desenvolvimento, se estima a proximidade entre as soluções exata e homogeneizada, na norma do espaço que elas pertencem, o que justifica matematicamente o método. Para problemas não lineares esta justificativa não está evidente, o que nos motivou a obter a proximidade para um problema difusivo com fluxo não linear. Além disso, é garantida a preservação das propriedades originais do fluxo quando homogeneizado, o que permitiu garantir a existência e unicidade da solução do problema homogeneizado, consequentemente, a existência e unicidade do problema local não linear. Por outro lado, para o MCDE, a teoria é mais consolidada em ambos os casos linear e não linear, isto significa que, além de obter o comportamento efetivo, o processo é justificado matematicamente através do resultado de corretor. Ainda, neste trabalho, se apresenta e aplica uma abordagem, originada da mecânica da fratura, que permite obter resultados realistas quando assumido grandes deformações. Esta abordagem consiste em formular uma expressão da energia de deformação que impõe o amolecimento da relação tensão/deformação. O uso desta abordagem, juntamente aos métodos de homogeneização apresentados neste trabalho, se mostrou possível. Sob as hipóteses de separação de escalas e do contíınuo, podem-se especificar dois usos da homogeneização: a obtenção de uma boa aproximação da solução do problema original e obtenção do comportamento efetivo do meio heterogêneo. Para a primeira, em geral, pelas técnicas aqui apresentadas, se constrói a solução assintótica de primeira ordem u (1), porém, essa aproximação apresenta um erro de ordem ε nas condições de contorno e inicial. Para corrigi-la, é proposta uma abordagem pós métodos de homogeneização, para construir um termo corretivo desses pontos na u (1). Por fim, foram resolvidos quatro exemplos numéricos mediante técnicas numéricas (Método dos Elementos Finitos Clássico, Galerkin Descontínuo e Multiescala; Método da Quadratura Adaptativa; Diferenças Finitas; Método do Ponto Fixo), para ilustrar os resultados apresentados.