Equações diofantinas associadas a funções aritméticas - Duarte, José Roberto (2020)
Esta dissertação de mestrado trata do conceito de equações diofantinas, funções aritméticas e uma relação entre as equações diofantinas que se utilizam de funções Aritméticas. A parte inicial é dedicada a um levantamento histórico percorrido pela Teoria dos Números desde a Antiguidade até a atualidade e uma abordagem sobre um proeminente matemático que viveu provavelmente no século III, em Alexandria, a quem agora chamamos de "Pai da Álgebra". Apenas algumas informações sobre sua vida sobreviveram, mas não podemos dizer com certeza se são verdadeiras, nem se sabe ao certo o nome exato deste matemático - existem várias mutações possíveis, nomeadamente: Diofanto, Diofante ou Diophantus. Para maior clareza, apresentaremos o nome deste matemático na forma de Diophantus. Foi esse matemático que lidou, entre outras coisas, com equações indefinidas, que em sua homenagem são chamadas equações diofantinas. No entanto, o tópico da equação diofantina é relativamente extenso e normalmente aborda-se a teoria básica, como observamos após pesquisarmos no site do PROFMAT. Por isso, não nos ativemos a demonstrar os vários métodos de resolução e discutirmos sobre os mais variados tipos de equações diofantinas, uma vez que os mesmos já foram extenuadamente apresentados e discutidos. Portanto nesse trabalho, fizemos uma abordagem de certas equações diofantinas envolvendo fatoriais e algumas funções aritméticas bem conhecidas : $φ$ a função totiente de Euler, $σ$ a função soma dos divisores e $τ$ a função número de divisores, bem como as mesmas se relacionam, além do exame e da análise de funções da forma $\dfrac{f(n!)}{m!}= a $, onde $f$ é uma das funções aritméticas $φ \,\,ou\,\, σ,$ e incorporando alguns problemas que fazem uso das funções aritméticas aqui estudadas. O objetivo deste trabalho é criar um material que sirva de motivação para os leitores, para continuar a trabalhar no campo da pesquisa, e por conseguinte poder dar contribuições ao campo da Matemática. Que os professores possam usar este trabalho como um bom lembrete das equações diofantinas para sua preparação durante as aulas regulares e adicionais e que possa servir como um "trampolim" para o estudo de equações diofantinas mais complexas.