Estrutura eletrônica de cristais: generalização mediante o cálculo fracionário - Gomes, Arianne Vellasco (2018)
Tópicos fundamentais da estrutura eletrônica de materiais cristalinos, são investigados de forma generalizada mediante o Cálculo Fracionário. São calculadas as bandas de energia, as funções de Bloch e as funções de Wannier, para a equação de Schrödinger fracionária com derivada de Riesz. É apresentado um estudo detalhado do caráter não local desse tipo de derivada fracionária. Resolve-se a equação de Schrödinger fracionária para o modelo de Kronig-Penney e estuda-se os efeitos da ordem da derivada e da intensidade do potencial. Verificou-se que, ao passar da derivada de segunda ordem para derivadas fracionárias, o comportamento assintótico das funções de Wannier muda apreciavelmente. Elas perdem o decaimento exponencial, e exibem um decaimento acentuado em forma de potência. Fórmulas simples foram dadas para as caudas das funções de Wannier. A banda de energia mais baixa mostrou-se estar relacionada ao estado ligado de um único poço quântico. Sua função de onda também apresentou decaimento em lei de potência. As bandas de energia superiores mudam de comportamento em função da intensidade do potencial. No caso inteiro, a largura de cada uma dessas bandas diminui. No caso fracionário, diminui inicialmente e depois volta a aumentar, aproximando-se de um valor infinito à medida que a intensidade do potencial tende ao infinito. O grau de localização das funções de Wannier, expresso pelo desvio padrão da posição, mostra um comportamento similar ao da largura das bandas de energia. Além dos cristais perfeitos a Ciência de Materiais estuda cristais com defeito. Os defeitos são responsáveis por muitas propriedades de interesse tecnológico e podem induzir estados localizados. Neste trabalho, calculado o estado localizado de menor energia no modelo de Kronig-Penney fracionário com defeito, mediante método das transformadas de Fourier e das funções de Wannier. Verificou-se que este estado também decai em forma de lei de potência.