Superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas tridimensionais - Medina, Andruss Keissi Lugo (2020)
Recentemente, o estudo de superfı́cies com propriedades geométricas preestabelecidas, imersas em variedades homogêneas de dimensão 3, têm recebido atenção de diversos geômetras, um dos principais foi H.Rosenberg, veja [17]. O principal objetivo deste trabalho foi estudar superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas tridi- mensionais cujo grupo de isometrias tem dimensão 4, estes espaços são conhecidos como espaços E³ (κ, τ ). Para cumprir tal objetivo, apresentaremos no capı́tulo 1 as ferramentas necessárias para classiﬁcar as superfı́cies totalmente umbı́licas em E³ (κ, τ ). Começaremos deﬁnindo alguns conceitos da Geometria Diferencial, tais como superfı́cie, curvatura, pontos umbı́licos, superfı́cies completas, dentre outros. Além disso, vamos apresentar a classiﬁcação das superfı́cies totalmente umbı́licas em E³ (κ, τ ) com κ = τ = 0, ou seja, em R³ . Em seguida, com o objetivo do obter o teorema de classiﬁcação das superfı́cies totalmente umbı́licas em H² × R e S² × R, que será apresentado no capı́tulo 2, apresentamos de maneira sucinta a geometria das formas espaciais bidimensionais H² e S². No capı́tulo 2, provamos a inexistência de superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas E³ (κ, τ ) para τ ≠ 0, isto é, aquelas que não são produtos Riemannianos. Em seguida, apresentamos a classiﬁcação das superfı́cies totalmente umbı́licas em S² × R e em H² × R. Por ﬁm, apresentamos um resultado de unicidade das superfı́cies totalmente umbı́licas em S² × R e em H² × R. Palavras-chave: Teorema de Classiﬁcação. Isometrias positivas. Teorema de unicidade. Submersão de Killing.