Tempo de recorrência e espera para rotações do círculo - Oliveira, Pedro Henrique Antunes (2020)
Este trabalho aborda recorrência em sistemas dinâmicos (motivada pelo Teorema da Re- corrência de Poincaré) com foco nas rotações irracionais do círculo. Tratamos o círculo como R/Z = {x + Z : x ∈ R} e assim também fazemos um estudo das estruturas to- pológica, métrica e de medida em R/Z. Em particular, damos uma deﬁnição do que entendemos pela medida de Lebesgue sobre o círculo e deﬁnimos uma métrica d Z compa- tível com a topologia quociente de R/Z. O principal resultado apresentado neste trabalho diz que dado α ∈ R \ Q, pondo f : R/Z → R/Z dada por f (x + Z) = (x + α) + Z (i.e. rotação do círculo por um ângulo α), para todo ponto x do círculo e para µ 1 -quase todo ponto y do círculo (sendo µ 1 a medida de Lebesgue sobre círculo), tem-se β 1 = R(x) ≤ R(x) = 1 = R(x, y) ≤ R(x, y) = β, sendo β = sup t > 0 : lim inf j d(jα, Z) = 0 , t j→∞ R(x, y) = lim inf + r→0 log(τ r (x,y)) , − log(r) R(x, y) = lim sup r→0 + log(τ r (x,y)) , − log(r) τ r (x, y) = inf{n ∈ Z : n ≥ 1, d Z (f n (x), y) < r}, R(x) = R(x, x) e R(x) = R(x, x). É um fato conhecido que para quase todo número real α (de acordo com a medida de Lebesgue sobre R), tem-se β = 1, o que enfatiza a relevância deste resultado. Também estudamos resultados mais gerais sobre a relação entre recorrência e dimensão pontual de uma medida, a saber, uma desi- gualdade apresentada por Barreira e Saussol e uma outra desigualdade apresentada por Galatolo. Palavras-chave: Círculo. Rotação Irracional. Recorrência.