Módulos de Weyl e de Demazure para álgebras de Lie de correntes - Zapata Santamaria, Fernando Alejandro (2020)
Sejam g uma álgebra de Lie simples de dimensão ﬁnita sobre o conjunto dos números complexos e sl r+1 o conjunto das matrizes de ordem (r + 1) × (r + 1) com traço zero. Neste trabalho apresentamos uma famı́lia de módulos integráveis, denotados por W (λ), para a álgebra de Lie aﬁm estendida, com λ um peso dominante inteiro de g e deﬁnimos os módulos de Weyl para as álgebras de loop L(g) = g ⊗ C[t, t −1 ], segundo um artigo de Chari e Pressley, como sendo quocientes dos módulos W (λ). Esses módulos de Weyl são de peso máximo, parametrizados por uma r-upla de polinômios π, com r denotando o posto de g. Além disso, provamos algumas propriedades universais dos módulos W (λ) e W (π). Outro objeto de nosso estudo foi a famı́lia dos módulos de Demazure, os quais deﬁnimos sobre a álgebra de correntes g[t], quando g = sl r+1 , e provamos que, em representações integráveis de peso máximo da álgebra de Lie aﬁm associada a g, eles são quocientes dos módulos de Weyl. A partir da noção de módulos de fusão, segundo um artigo de Chari e Loktev, apresentamos uma relação entre os módulos de Weyl, os módulos de fusão da álgebra de correntes g[t], quando g = sl r+1 , e os módulos de Demazure da correspondente álgebra de Lie aﬁm. Além disso, como uma consequência da relação anterior, apresenta- mos um caso especial de uma conjectura de Chari e Loktev sobre a estrutura e caracter dos módulos fusão. Palavras-chave: Álgebra de Lie aﬁm. Álgebra de correntes. Módulos de Weyl. Módulos de Demazure. Módulos de fusão.