Método de Melnikov generalizado e aplicações - Silva, Lucas Carvalho (2011)
Um sistema dinâmico dx = f(x) + g(x, t, ε), x ∈ Rn (1) ____ dt onde f : Rn → Rn e g : Rn x R x RN → Rn são de classe C2, g é periódica em t, tal que o sistema x˙ = f(x) (2) tem um ponto de equilíbrio do tipo sela e uma órbita homoclínica associada a este ponto, (1) é chamado sistema homoclínico perturbado. O que acontece com o sistema (2) após uma perturbação, ou seja, quando fazemos em (1) ε assumir valores positivos? Nesse trabalho analisamos ferramentas analíticas para começar a responder a esta pergunta, como o método clássico de Melnikov, para sistemas quando n = 2 e g é periódica em t. Usando um tipo especial de funções, provamos que o método de Melnikov fornece um critério para mostrar que para um intervalo de tempo finito [−T, T], com T arbitrariamente grande, o sistema perturbado é igual a um sistema caótico para uma classe mais geral de "funções perturbadoras". Por fim, apresentamos uma generalização deste método clássico para dimensões maiores, o método de Melnikov-Gruendler. Daremos ainda duas aplicações, uma exemplificando que para um intervalo de tempo finito o sistema perturbado é igual a um caótico e o outro relativo ao método de Melnikov-Gruendler.