Teorema da existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias no contexto de espaços métricos - Silva, Davi Santana de Oliveira (2021)
O presente trabalho busca apresentar o Teorema da Existência e Unicidade de soluções para uma problema de valor inicial (PVI) dentro do contexto de espaços métricos. Para isso, começamos revendo alguns conteúdos de análise real que auxiliam no entendimento dos conceitos de espaços métricos. Iniciamos com um pouco de topologia em espaços métricos, entre eles, a sequência de Cauchy, que é de extrema importância para a compreensão da definição de espaços métricos completos. Apresentamos o método de aproximações sucessivas devido a Émille Picard, que a partir de um caminho contínuo, nos permite aproximar a solução de um PVI e, além disso, verificar se esta solução encontrada é única a partir da convergência das iteradas. Em seguida, apresentamos o Teorema de Contração Uniforme, também conhecido como Teorema do Ponto Fixo de Banach, que formaliza as aproximações sucessivas. Por fim, discutimos sobre o Teorema da Existência e Unicidade, sua demonstração, bem como aplicações para algumas equações diferenciais ordinárias.