Alguns problemas de enumeração sobre corpos finitos - Jesus, Dérick Alves de [UNIFESP] (2024)
Neste trabalho, tratamos alguns problemas de enumeração sobre corpos finitos. Para tanto abordamos tanto teoria de corpos quanto os principais resultados para caracterização dos corpos finitos. Dentre os problemas abordados, destacamos o número de partições de um elemento qualquer do corpo, a quantidade de polinômios mônicos e irredutíveis de um dado grau e de $m$-uplas que são soluções de uma soma de polinômios $q$-associados. Mais especificamente, dado um conjunto de polinômios $f_j = \sum a_{ij}x_j^i$, trataremos das uplas que são soluções da soma dos polinômios $L_{f_j}=\sum a_{ij} x_j^{q^{i}}$. Deste modo podemos restringir cada upla como sendo elemento de um único subcorpo do fecho algébrico do corpo com $q$ elementos. Além disso, determinamos o número de soluções de sistemas de equações lineares dadas pelos traços de elementos de uma extensão.