Abordagens robustas para problemas inversos baseados nas estatísticas generalizadas de Rényi, Tsallis e de Kaniadakis - Lima, João Victor Tomaz de (2022)
De modo geral, os problemas inversos podem ser enfrentados como a tarefa de otimizar um funcional que promove o ajuste entre os dados experimentais e os dados calculados a partir de um modelo físico. Comumente, se emprega a função objetivo conhecida como "função de mínimos quadrados" — que se baseia na estatística Gaussiana — para esta tarefa, todavia esta abordagem apresenta sérias dificuldades em contexto em que os ruídos não obedecem a estatística Gaussiana. O tipo de ruído não Gaussiano que investigamos neste trabalho são os outliers, os quais são caracterizados como medidas discrepantes que contaminam a amostra e dificultam a leitura dos dados experimentais. Nesta dissertação abordamos a generalização do problema inverso por meio da generalização da estatística Gaussiana no contexto das estatísticas de Rényi, Tsallis e de Kaniadakis. Nesse sentido, discutimos a distribuições dos erros no contexto não gaussiano e as funções objetivos generalizadas que derivam destas estatísticas e avaliamos a robustez delas por meio da denominada Função de Influência (gradiente da função objetivo). Exemplificamos a robustez das metodologias generalizadas usando experimentos numéricos. Em particular, usamos a generalização do problema inverso em um problema de inversão sísmica com elevadas contaminações de outliers. Os nossos resultados apontam que o problema inverso generalizado é resistente a outliers. Além disso, identificamos que o melhor desempenho de inversão de dados ocorre quando o índice entrópico de cada estatística generalizada está associado a funções objetivo proporcionais ao inverso da amplitude do erro. Argumentamos que em tal limite as três abordagens são resistentes a outliers e também são equivalentes. Além disso, esta abordagem sugere um menor custo computacional para o processo de inversão devido à redução de simulações numéricas a serem realizadas e à rápida convergência do processo de otimização.