Séries de potência formais para as distribuições estáveis de Lévy: o caso simétrico - Costa Neto, José Crisanto da (2018)
Um problema relevante na Física Estatística e na Física Matemática consiste em derivar expressões numericamente precisas e formas analíticas exatas para calcular as distribuições de Lévy α-estáveis Pα(x; β). Na prática, estas distribuições são usualmente expressas em termos da integral de Fourier de sua função característica. De fato, expressões na forma fechada são relativamente escassas, dado o enorme espaço de parâmetros: 0 < α ≤ 2 (´ındice L´evy), −1 ≤ β ≤ 1 (assimetria), σ > 0 (escala) e −∞ < µ < ∞ (deslocamento). No âmbito formal, importantes resultados exatos dependem de funções especiais, tais como as funções Meijer-G, Fox-H e somas finitas de funções hipergeométricas, com apenas alguns casos excepcionais expressos em termos de funções elementares (distribuições gaussiana e de Cauchy). De um ponto de vista mais prático, métodos como expansões em séries, por exemplo, permitem uma estimativa das distribuições de Lévy com alta precisção numérica, porém a maioria das abordagens estão restritas a um pequeno subconjunto dos parâmetros, além de fazerem o uso de algoritmos sofisticados relativamente demorados. Como contribuição adicional a este problema, propomos novos métodos para descrever as distribuições estáveis simétricas, com parâmetros β = 0, µ = 0, σ = 1. Obtemos uma descrição através de uma forma fechada analítica, via séries de potência formais fazendo uso do procedimento da soma de regularização de Borel (para α = 2/M, M = 1, 2, 3...). Também obtemos uma expressão aproximada (para 0 < α ≤ 2) que foi desenvolvida por meio da divisão do domínio da variável de integração em subintervalos (janelas), construindo a expansão em séries adequada dentro de cada uma delas, em seguida, calculando as integrais termo a termo.