Soluções assintóticas formais de segunda ordem na homogeneização assintótica de meios microperiódicos - Leitzke, Bruna da Silva (2017)
Nesta dissertação o método de homogeneização assintótica é utilizado como ferramenta na obtenção de soluções para alguns problemas físicos, lineares, unidimensionais e multidimensionais. O estudo se baseia em modelos matemáticos que descrevem o comportamento de sólidos heterogêneos na microestrutura. O método busca um novo problema, denominado problema homogeneizado (meio homogêneo), que é equivalente ao problema original (meio heterogêneo). Assim, de um parâmetro geométrico pequeno, separam-se as escalas macroscópica e microscópica e aplica-se o método de homogeneização assintótica a partir da célula básica. Essa célula apresenta uma regularidade e periodicidade na microestrutura do material, onde contém todas as características físicas do meio. Portanto, os resultados obtidos podem ser estendidos ao longo do domínio da estrutura. Assim, uma solução para o problema original é proposta através de uma solução assintótica formal. No desenvolvimento do método são encontrados os problemas locais, os coeficientes efetivos e o problema homogeneizado. Os problemas locais são referentes ao comportamento do material na célula básica e devem ser resolvidos para a obtenção das soluções dos termos da solução assintótica e dos coeficientes efetivos. Esses coeficientes, juntamente com a solução do problema homogeneizado, proporcionam o comportamento efetivo (global), equivalente ao que ocorre fisicamente no meio heterogêneo. O problema original apresenta equações diferenciais parciais com coeficientes rapidamente oscilantes. Portanto, buscam-se os coeficientes efetivos, pertencentes ao problema homogeneizado, correspondentes aos coeficientes do problema original. Finalmente, a solução do problema original deve convergir para a solução do problema homogeneizado, e isto é mostrado matematicamente através da relação de proximidade entre as soluções. Em particular soluções assintóticas formais de segunda ordem são obtidas para aproximar melhor os detalhes locais das soluções exatas, pois nas abordagens mais tradicionais do método de homogeneização assintótica procuram-se apenas soluções assintóticas formais de primeira ordem que não fornecem tais detalhes. Para ilustrar os resultados obtidos são propostos exemplos, com o intuito de verificar a proximidade entre as soluções encontradas.