Homogeneização matemática de meios micro-heterogêneos com estrutura periódica - Lima, Marcos Pinheiro de (2016)
O método de homogeneização assintótica permite transformar um problema sobre um meio micro-heterogêneo,periódico,caracterizado por coeficientes rapidamente oscilantes (problema original),em outro sobre um meio homogêneo (problema homogeneizado) assintoticamente equivalente ao heterogêneo.Os coeficientes das equações diferenciais correspondentes ao problema homogêneo são chamados coeficientes efetivos do meio heterogêneo.A obtenção de tais coeficientes efetivos depende da solução dos chamados problemas locais,ou seja,sobre a célula básica cuja replicação periódica gera o meio heterogêneo. Do ponto de vista matemático, é importante verificar a relação de proximidade entre as soluções dos problemas original e homogeneizado,o qual constitui a fundamentação da equivalência. De um ponto de vista prático,o método de homogeneização assintótica oferece uma metodologia para conhecer o comportamento macroscópico de meios heterogêneos, o qual é util em diversas aplicações. O presente trabalho tem como objetivo o estudo desta técnica matemática de homogeneização para obtenção do comportamento efetivo de meios micro-heterogêneos,e aplicar o formalismo matemático que permite construi ruma solução assintótica formal de problemas unidimensionais lineares,não lineares com coeficientes contínuos e contínuos por partes, assim como,justificar matematicamente a proximidade entre as soluções dos problemas original e homoge- neizado. A fim de ilustrar os resultados teóricos,são estudados exemplos a partir de diferentes técnicas analíticas e numéricas. Além disso, para o caso em que o meio heterogêneo é um compósito, isto é, os coeficientes são constantes por partes, os resultados da homogeneização assintótica são comparados com aqueles obtidos a partir da abordagem alternativa da homogeneização variacional. Especificamente, esta abordagem,desenvolvida aqu ipara meios com comportamento constitutivo não linear, produz cotas para a energia efetiva e a lei efetiva de tal compósito.