Substitution operators - Vanessa Rocha, Andréa (2009)
Nós estudamos um novo tipo de processo estocástico a tempo discreto, que nós chamamos de processos de substituição. Como o tempo é discreto, nós podemos definir este processo através de um operador que transforma uma medida de probabilidade (em um certo espaço) em outra. Vale a pena notar que a maioria dos estudos de processos de partículas interagentes se baseia na suposição de que o conjunto de sítios, também chamado de espaço, não muda ao longo da interação. Existem apenas poucos trabalhos onde os sítios podem aparecer e desaparecer durante a realização do processo, e este trabalho é um deles. Considere então um conjunto finito não-vazio A chamado de alfabeto, cujos elementos são chamados de letras. Sequências finitas de letras são chamadas de palavras e o comprimento de uma palavra é o número de letras que existe nela. Os elementos de AZ (sequências bi-infinitas de letras) são chamados de configurações. Denotamos por M o conjunto de medidas de probabilidade invariantes por translação. Nós podemos definir um operador de substituição genérico como um operador de M em M que substitui cada ocorrência de uma palavra G (onde G precisa satisfazer uma certa condição) em uma configuração por outra palavra H com probabilidade ρ, onde ρ pertence a [0; 1], independentemente das outras ocorrências. A nossa maior contribuição é dada pela definição e estudo dos operadores de substituição em geral. O caso mais interessante do operador de substituição, na nossa opinião, é o caso em que G e H têm comprimentos diferentes; a própria definição do operador neste caso é não-trivial. De fato, foi preciso desenvolver uma teoria de aproximação de medidas por sequências de palavras para lidar com este caso. Uma dificuldade com este caso é que os operadores de substituição não são lineares. No entanto, foi possível provar que todos eles são finos, que nos parece ser a melhor propriedade depois da linearidade. Nós também provamos que todos os operadores de substituição são contínuos e nós utilizamos este fato para obter conclusões a respeito da existência de medidas invariantes por estes operadores, o que nos ajuda a estudar ergodicidade do processo de substituição. Por fim, nós esperamos que estas propriedades possam ser relacionadas com certas necessidades de ciências aplicadas