O Teorema do h-cobordismo e a conjectura generalizada de Poincaré - Livin Barrera Bocanegra, Lord (2005)
O trabalho está apresentado da seguinte maneira: No primeiro capítulo se faz uma lista de definições e teoremas que achamos mais importantes sobre tópicos tais como Topologia, Variedades Diferenciáveis e aspectos da Topologia Algébrica, os quais serão utilizados ao longo dos capítulos seguintes. Consideramos conveniente indicar as provas dos teoremas assim como comentários da teoria na bibliografia correspondente citada após de cada resultado. O segundo capítulo dedica-se a estudar a estrutura cobordismo. Na seção 2.1 introduzimos o conceito de cobordismo e fazemos um resumo das propriedades gerais de funções de Morse sobre cobordismos. Com as definições e resultados da seção 2.1, construímos na seção 2.2 uma topologia que nos permitir a mostrar a existência de funções de Morse sobre um cobordismo e definir o número de Morse de um cobordismo. Funções de Morse fornecem por sua vez em 2.3 campos vetoriais de tipo-gradiente, resultado fundamental que nos ajudará a provar o teorema da vizinhança colar, que por sua vez, nos permitirá introduzir uma operação entre cobordismos. Na seção 2.3 também provaremos que um cobordismo com número de Morse zero é precisamente um cobordismo produto (teorema 2.3.3). Este resultado é crucial no teorema do h-cobordismo. A seção 2.4 está dedicada ao estudo de cobordismos com número de Morse 1. A homologia de tais cobordismos fornecerá informação sobre a decomposição de um cobordismo em cobordismos elementares. Finalmente terminamos o capítulo 2 mostrando que qualquer cobordismo pode-se reordenar como composição de cobordismos cada um deles com uma função de Morse e um nível crítico onde todos seus pontos críticos tem índice fixo. Este último resultado será fundamental para o cancelamento de pontos críticos de índices intermediários (teorema 3.3.7). O terceiro capítulo está baseado em quatro teoremas fundamentais que podemos dividir em dois grupos, os teoremas 3.1.6, 3.2.4 e os teoremas 3.3.7, 3.4.1. O teorema fraco de cancelamento (teorema 3.1.6) nos diz que um cobordismo é um cobordismo produto quando podemos ligar os pontos críticos por somente uma trajetória. O problema acontece quando pontos críticos não estão ligados necessariamente por somente uma trajetória, o teorema 3.2.4 fornece condições de transversalidade. Neste sentido, estudaremos o comportamento das nossas esferas em um nível intermediário entre ambos níveis críticos mediante condições de transversalidade entre ambas esferas de tal forma que podamos aplicar o teorema 3.1.6. O teorema 3.3.7 nos dá condições de eliminação de pontos críticos de índices intermediários cuja prova usa fortemente o teorema 3.1.6. O teorema 3.2.4 será fundamental na prova do teorema 3.3.7. Este a sua vez, junto a teorema 3.4.1 ajudara a provar o teorema do h-cobordismo. Finalmente o capítulo 4 é dedicado ao nosso objetivo principal, o Teorema do hcobordismo. Fazemos uma pequena mudança da prova dada em [12] (Ver [10]) e como conseqüência o Teorema de Smale e a caracterização dos n-discos com (n ¸ 6). Na prova do teorema do h-cobordismo utilizaremos os dois últimos teoremas fundamentais do capitulo 3