Instabilidade e bifurcação num problema de N+1 corpos - SILVA, Gersonilo Oliveira da (2011)
Nosso objetivo central é a análise da configuração poligonal com massas iguais dispostas nos vértices do polígono e uma massa desprezível num dos eixos de simetria. Fazemos no primeiro capítulo, a apresentação de conceitos e resultados que fundamentam nossa pespectiva à luz da Mecânica Celeste, incisivamente nas configurações centrais. Lá apresentamos as equações de Newton para o movimento, fazemos transferência destas para o formalismo Hamiltoniano, e expomos alguns resultados que evidenciam não só particularidades, como também a natureza destes sistemas, o que justifica seu uso no tratamento das equações de movimento. No segundo capítulo, discutimos, sucintamente, a caracterização das soluções particulares, denominadas configurações centrais, que compõem o escopo de nosso trabalho. No capítulo três, apresentamos o que seria uma possível cronologia do desenvolvimento matemático da análise das configurações poligonais e o estudo de sua estabilidade, adequando a exposição ao foco deste trabalho. No quarto capítulo, descrevemos o uso do operador de Perron-Frobenius l-ádico, para representação de funções complexas, o qual usamos para nossas análises. No quinto capítulo, fazemos uma dedução matemática das equações do problema de n+1 corpos, no caso em que os n corpos, denominados massas primárias, estão dispostos nos vértices de um polígono regular. Lá também apresentamos a estrutura da análise de estabilidade de um problema restrito. E apresentamos os resultados acerca da instabilidade da configuração provinda do problema restrito, para o primeiro eixo de simetria $[\theta=0]$ e para o segundo eixo $[\theta=\frac{\pi}{n}]$, com restrições aos valores de r e n. No sexto capítulo, apresentamos uma demonstração completa de um resultado de existência e unicidade para a posição de equilíbrio no problema restrito, para o primeiro eixo de simetria $[\theta=0]$ e a análise da bifurcação para este eixo. Abordamos uma análise das bifurcações para o segundo eixo $[\theta=\frac{\pi}{n}]$, obtendo alguns fatos. Exibimos no sétimo capítulo, uma análise numérica, feita com o auxílio do software Maple, onde são apresentados resultados bastante relevantes quanto a dinâmica das configurações quando usamos o valor de uma massa central à configuração como parâmetro, encontrando dois tipos de bifurcações. E também uma apresentação detalhada de estimativas que serviram de suporte no esclarecimento dos resultados apresentados nos capítulos anteriores