Processos de partículas com comprimento variável - Dias Ramos, Alex (2007)
Por muito tempo, foi (e ainda é) comum entre físicos estatísticos acreditarem que transições fásicas só poderiam ocorrer em sistemas com dimensões maiores que um. Baseados nesta tradição e em simulações computacionais [1], vários autores propuseram uma conjectura conhecida como Conjectura de taxas positivas , chamada aqui CTP, a qual defende que todo autômato celular unidimensional com interação local uniforme, não-degenerado é ergódico. Vários autores tentaram refutar esta hipótese, mas somente um obteve sucesso completo: Gács [2] propôs um sistema muito complicado com 2100 estados, o qual refuta a CTP. Gray em trabalho posterior [3] explica os resultados obtidos por Gács sobre o refutar da CTP e expressou acreditar que sistemas muito simples não podem refutar a CTP. Toom em [4] propôs uma nova classe de sistemas unidimensionais com interação local, onde componentes pode aparecer e desaparecer durante o processo de evolução. Após, o mesmo propôs um sistema muito simples desta nova classe [5], e provou que, embora unidimensional, exibe alguma forma de não-ergodicidade. Neste processo, partículas enumeradas por números inteiros interagem em todo passo de tempo discreto somente com seus vizinhos mais próximos. Toda partícula tem dois estados, chamados menos e mais . Inicialmente, o processo começa na configuração todos menos . Em cada passo de tempo duas transformações ocorrem. A primeira transforma todo menos em mais com probabilidade independentemente do que acontece nos outros lugares. Sob a ação da segunda, sempre que um mais é um vizinho esquerdo de um menos, ambos desaparecem com probabilidade independentemente dos outros lugares. Dentre os resultados deste processo, Toom provou que quando é pequeno, a densidade de mais é sempre pequena. Porém, o caso que chamamos problemático , com = 1, não foi considerado por Toom, pois neste caso mesmo a exist encia do processo não é evidente. No primeiro capítulo de nosso trabalho, mostramos rigorosamente que o processo de Toom está definido para este caso também e que os maiores resultados dele sobre não ergodicidade ainda permanecem válidos, e até mesmo apresentam melhores estimações numéricas. No segundo caítulo, nós estudamos o mesmo processo com qualquer valor de 2 [0, 1] e usamos método de Monte Carlo e aproximção de campo médio para estimar a linha que separa as regiões para as quais o processo é ergódico vs. não ergódico e em adição observamos que para pequenos valores de e , esta linha separadora tem a inclinação positiva na origem. Uma limitação do processo considerado nos capítulos um e dois é que ao imaginarmos sistemas finitos, teremos que em média o processo descrito acima diminui e portanto não tem análogo finito. No terceiro capítulo, nós apresentamos um outro processo com os mesmos dois estados menos e mais , mas com tempo contínuo, composto por três transformações: a primeira, chamada flip, muda menos para mais e mais para menos com uma taxa . Uma outra chamada aniquilação elimina as duas partículas vizinhas com uma taxa , se estas estiverem em estados diferentes. A terceira, chamada mitose, duplica qualquer partícula com uma taxa . Mitose não foi utilizada no processo de Toom. Sua presença com uma taxa satisfatória previne nosso processo de diminuir . O processo com mitose exibiu a mesma forma de não ergodicidade como Toom provou. Nós mostramos isto usando simulação de Monte Carlo e estimamos as taxas para as quais nosso processo é ergódico vs. não ergódico e diminui vs. não diminui