Sobre a desigualdade de Kahane-Salem-Zygmund e resultados afins - Silva, Janiely Maria da (2023)
Neste trabalho, revisitamos e exploramos os seguintes resultados clássicos: a desigualdade de Kahane-Salem-Zygmund (por simplicidade, KSZ), o jogo das luzes desbalanceadas de Gale-Berlekamp e o Teorema de Dvoretzky-Rogers. A princípio, apresentamos uma versão multilinear estendida da KSZ, com a qual obtivemos as estimativas assintóticas ótimas para os expoentes em casos não contemplados pelas versões anteriores. Em particular, provamos que uma conjectura proposta por Albuquerque e Rezende é falsa. Em seguida, inspirados por um antigo resultado de Bohnenblust e Hille, investigamos como certas matrizes de escalares complexos podem ser usadas para substituir os coeficientes ±1, para obter variantes da KSZ com melhores propriedades. Nessa direção, propusemos uma versão contínua para o famoso jogo das luzes desbalanceadas de Gale-Berlekamp, com boas estimativas. Finalmente, usando a mesma classe de matrizes, obtivemos uma prova construtiva para o Teorema de Dvoretzky-Rogers em espaços de sequências com escalares complexos. Mais precisamente, dado p ∈ [1, 2], fornecemos exemplos de uma série (x(j))∞j=1 incondicionalmente somável em lp(C) com P∞j=1 kx(j)k2−ε = ∞, para todo ε > 0. Usando ainda o "Sistema de Walsh", apresentamos uma construção similar para o caso de espaços de sequências com escalares reais.