Resultados de existência e de não existência de soluções para uma classe de equações elípticas - Fabiana Maria Ferreira (2011)
Nesta dissertação estudamos uma classe de problemas elípticos quase lineares com singularidades no operador e na não-linearidade. Recentementemuitos resultados foram publicados para esse tipo de problema nos casos em que W ou em que W ´e um domínio exterior tal que 0 / W. Baseados no artigo de Bartsch, Peng e Zhang [3], consideramos o caso menos estudado em que W. Quando 6 0 e > 0, isto é, quando a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg falha, demonstramos uma identidade do tipo de Pohozaev. Consequentemente, esse problema não possui solução quandoW é um cone estrelado em relacão a um ponto RN. Modificando algumas condições sobre os parâmetros e demonstramos a existência de uma solução através da minimização de um funcional definido em um espaço de Sobolev com propriedades que refletem a geometria do domínio W. Também estudamos o caso concreto da desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg. Supondo que 1 < p < N, > p N, > p, /p > /p(, ) demonstramos a existência de uma solução através da minimizacão do quociente de Rayleigh-Ritz, isto é, A existência de uma solucao estritamente positiva e de energia mínima (conhecida como solução ground state) é obtida como consequência do princpio do máximo. Na mesma direcão, usando o fato de que S,(W) é atingido e o princpio do máximo demonstramos um resultado decomparacao para S,(W); precisamente, se W1 W2, entao S,(W1) > S,(W2). No caso de dom´nios diferenciaveis, quando W C2 e com a hipótese de que 0 W, demonstramos um resultado de não existencia de solucão para alguns tipos de domínios W. A ideia é demonstrar que S,(W) = S,(RN) e usar a invariância do quociente acima para concluir que S,(W) não é atingido. Baseados nos artigos de Bartsch, Peng e Zhang [3] e de Kou e Peng [17], também estudamosum problema de valor de fronteira com condicões do tipo de Neumann. O principal argumento da demonstracao desse fato é um lema de concentracão-compacidade. Para obtermos uma sequência de Palais-Smale no n´vel de minimax e com o expoente crítico usamos a hipótese de que a curvatura média em 0 W é positiva.