Uma representação da Álgebra de Lie de matrizes via operadores de vértice - David Teixeira Martins (2022)
O anel polinomial $B_r := \Q[e_1,\dots,e_r]$ em $r$ indeterminadas é uma representação da álgebra de Lie de todos os endomorfismos de $\Q[X]$ anulando-se em todo $X^j$, exceto para um número finito de valores de $j$. Determinamos a série de potências estrutural formal da $B_r$-representação de $\mathrm{gl}_\infty(\Q)$. Esta é uma série de potências formal em $r+2$ indeterminadas codificando as imagens de todos os elementos básicos de $B_r$ sob a ação da função geradora dos endomorfismos elementares de $\Q[X]$. A expressão obtida implica (e melhora) uma fórmula por Gatto \& Salehyan, que apenas computa as funções geradoras para as imagens de elementos básicos específicos. Por uma questão de completude, construímos a série de potências estrutural formal da $B = B_\infty$-representação de $\mathrm{gl}_\infty(\Q)$. Consiste na avaliação de um operador de vértice bosônico contra a função geradora da base padrão de Schur de B. Ela fornece uma descrição alternativa da representação bosônica de $\mathrm{gl}_\infty$, devida a Date, Jimbo, Kashiwara e Miwa, que não envolve explicitamente exponenciais de operadores diferenciais. Por último, fornecemos uma $B_r$-representação da superálgebra de Lie $\mathrm{gl}(\bw \Q[X])$.