On the phase transition for some percolation models in random environments - Marcos Vinícius Araújo Sá (2019)
Nesta tese nós consideramos dois modelos de percolação em ambientes aleatórios e estamos interessados em seus fenômenos de transição de fase. O primeiro modelo de percolação estudado é na rede cúbica apresentando desordem colunar. Este modelo é definido em dois passos: primeiro as colunas verticais de $\mathbb{Z}^3$ são removidas independentemente com probabilidade $1-ρ$ e, no segundo passo, os elos conectando sítios na sub-rede remanescente são declarados abertos com probabilidade $p$ de modo independente. Nosso resultado mostra que existe $δ>0$ tal que o ponto crítico $p_c(ρ)<1/2-δ$ para todo $ρ>ρ_c$, onde $ρ_c$ denota o ponto crítico da percolação de sítios em $\mathbb{Z}^2$. O segundo modelo é na rede quadrada esticada horizontalmente, que consiste de uma versão generalizada de $\mathbb{Z}^2_+$ obtida ao se esticar a distância entre suas colunas, segundo uma variável aleatória positiva $ξ$. Neste modelo a probabilidade de um elo ser declarado aberto decairá exponencialmente segundo seu comprimento. Nosso resultado mostra a existência da transição de fase quando $\mathbb{E}(ξ^η)<∞$, para algum $η>1$, e a ausência quando $\mathbb{E}(ξ^η)=∞$, para algum $η<1$.