Probabilidade de ruína com fluxo de caixa e investimento governados por processos de difusão. - Roger William Camara Silva (2007)
O problema da ruína tem sido amplamente investigado sob diferentes suposições para o processo estocástico que modela as reservas de uma companhia de seguros. O foco desta dissertação consiste em estudar uma das mais importantes partes da matemática atuarial, a qual é reconhecida como Teoria da Ruína, dando ênfase ao cálculo da probabilidade de ruína de uma seguradora com o capital sujeito a investimento a uma taxa de juros constante. Supõe-se que as indenizações pagas pela seguradora têm distribuição do tipo cauda leve, o que na prática significa que nenhuma delas é grande o suficiente para afetar o resultado total significativamente. Este estudo começa com a descrição do modelo de risco sem investimentos fazendo-se, em particular, uma descrição minuciosa do modelo clássico de Cramér-Lundberg, o qual descreve, de maneira simples, a evolução do capital de uma companhia de seguros. Em seguida apresenta-se o modelo de risco com investimento, o qual descreve o capital de uma companhia de seguros que recebe juros de suas reservas a uma taxa constante no tempo. Feito isto, passa-se ao modelo de difusão para a reserva de uma seguradora. Salienta-se que este tópico será visto com um cuidado maior que os demais, sendo analisado em todos os detalhes. Considera-se um processo de risco com investimento das reservas, de forma que o fluxo de caixa e a taxa acumulada de juros são aproximados por processos de difusão com coeficientes dependendo do tempo e do atual saldo financeiro. Estuda-se uma equação diferencial parcial (ordinária) para a probabilidade de ruína em tempo finito (infinito). Nesta dissertação investiga-se o regime de validade desta aproximação comparando a solução numérica da referida equação diferencial parcial com os valores obtidos por simulação das probabilidades de ruína em tempo finito para o modelo de risco com investimento, para diferentes tipos de distribuição das indenizações. Realiza-se também o mesmo tipo de comparação para a probabilidade de ruína em tempo infinito. Neste caso, a solução da equação diferencial ordinária é exata e uma técnica de mudança de medida deve ser realizada a fim de realizar as simulações. Constata-se que a qualidade das aproximações depende dos parâmetros do modelo. Um objeto de estudo para o futuro seria encontrar uma relação entre os parâmetros, a qual defina em quais situações a aproximação por difusão é satisfatória.