Existence results for nonlinear elliptic problems with free nonlinearities - Assis, Heitor Ribeiro de (2023)
O objetivo deste trabalho é estudar, dentro do campo de equações diferenciais parciais, problemas elípticos onde podemos identificar algum tipo de criticalidade no comportamento da função não linear presente e, ao final de cada um dos três problemas principais apresentados aqui, buscar a existência de soluções estritamente positivas para os mesmos. No primeiro capítulo, apresentaremos a leitor uma breve história dos problemas que buscamos estudar e as noções de crescimento crítico de Sobolev e de Trudinger-Moser, noções que se diferenciam principalmente pelo operador elíptico considerado, pelos espaços de funções em que procuramos soluções e, adicionalmente, pelos métodos que empregamos. São estas características que moldam as principais complicações que tivemos de enfrentar para a resolução dos problemas postos. No segundo capítulo, olhamos para o primeiro problema de nosso interesse, a saber o problema de condição de fronteira mista, (Formula disponível no arquivo original) onde B(u) é um operador de fronteira mista de Dirichlet-Newmann, combinando duas diferentes noções de condição de fronteira. Neste caso, a criticalidade da função ƒ é dada pelo expoente crítico de Sobolev, (Formula disponível no arquivo original), onde N é a dimensão do espaço em que Ω se encontra. Em seguida, no terceiro capítulo, olhamos para um sistema elíptico acoplado, (Formula disponível no arquivo original) e o fato de ainda considerarmos o operador Laplaciano implica novamente em uma condição de crescimento crítico de Sobolev, de modo que tomamos ƒ abaixo de uma múltipla da curva dada por (Formula disponível no arquivo original). Vemos que este crescimento também está presente na primeira equação, além da consideração de uma singularidade como parte da não-linearidade. Por fim, no quarto e último capítulo, consideramos enfim um problema com o operador elíptico não linear, N-Laplaciano, (Formula disponível no arquivo original) Novamente tratamos um sistema, sendo este bem similar ao primeiro. O operador, porém, nos força a considerar a condição de criticalidade de Trudinger-Moser, sendo que agora incorporamos também a função ƒ à primeira equação. Mais detalhes sobre os problemas tratados, os operadores e suas noções de criticalidade serão fornecidos no devido tempo, assim como os métodos de resolução dos mesmos. Utilizaremos aqui os métodos não-variacionais de Galerkin e da Teoria de Ponto Fixo de Schauder.