A conjectura de Golomb-Welch com raio 2 para infinitas dimensões - Souza, Raphael Cascelli dos Santos (2023)
Um importante conceito da teoria de códigos é o do raio de empacotamento de um código, o qual definimos como sendo o raio máximo que nos permite cobrir o espaço em que o código está contido com bolas disjuntas centradas nas palavras do código. Neste sentido, os códigos perfeitos são códigos tais que não ocorre o caso de uma palavra errada estar fora de todas as bolas centradas nas palavras do código. O fato de um código ser perfeito ou não depende da métrica considerada. Nesse trabalho, vamos apresentar um estudo sobre os códigos perfeitos na métrica de Lee e os critérios para otimizar o raio em torno dos elementos do código. Por fim, apresentaremos a Conjectura de Golomb-Welch (1968) a qual afirma que não existem códigos lineares perfeitos de Lee para certos valores de dimensão e raio para alfabetos grandes. A demonstração geral ainda é um problema em aberto da Teoria dos Códigos, porém para raio 2, veremos uma demonstração de sua validade para infinitas dimensões relacionadas com um conjunto específico de números primos.