Uma condição de injetividade e a estabilidade assintótica global no plano - SOUZA, Wender José de (2010)
Neste trabalho, estamos interessados em estudar a solução do seguinte problema: Seja Y = ( f ,g) um campo de vetores, de classe C1, em R2. Suponha que (x, y) = (0,0) é um ponto singular de Y e suponha que, para todo q ∈ R2, os autovalores de DY tem parte real negativa, isto é, det(DY) > 0 e tr(DY) < 0. Então, a solução (x, y) = (0,0) de Y é globalmente assintoticamente estável. Para este fim, mostramos que este problema é equivalente ao seguinte: Seja Y : R2 →R2 uma campo de vetores de classe C1. Se det(DY) > 0 e tr(DY) < 0, então Y é globalmente injetora. Esta equivalência foi demonstrada por C. Olech em [1]. Desta forma, a estratégia é estudar a injetividade do campo Y sob as condições det(DY)> 0 e tr(DY) < 0. Na verdade, apresentamos um resultado um pouco mais forte, o qual foi obtido por C. Gutierrez e pode ser encontrado em [4]. Este resultado é dado por: Qualquer campo de vetores X : R2 →R2 de classe C2 satisfazendo a condição de r-autovalor, para algum r ∈ [0,¥), é injetora.