Theoretical results on the controllability of nonlinear partial differential equations - Jesus, Denilson Menezes de (2023)
A presente tese compila três diferentes pesquisas desenvolvidas durante o curso de doutorado no Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal Fluminense (UFF), sob a orientação do professor Juan Bautista Límaco Ferrel. O campo de estudo desta tese é a teoria de controle de equações diferenciais parciais, onde apresentamos três pesquisas sobre os seguintes tópicos: controle ótimo; controlabilidade nula local; e equilíbrio de Pareto. Na primeira, propomos o estudo de um determinado sistema parabólico quase linear.Investigamos o aspecto de controlabilidade ótima deste modelo, provando em um cenário geral que existe um controle ótimo. Em uma estrutura particular de interesse prático, estamos aptos a caracterizar o controle ótimo e o estado correspondente. Na segunda, o estudo dedica-se a analisar, do ponto de vista teórico, a controlabilidade nula local de um tipo de sistema parabólico quase linear onde o coeficiente de difusão depende do gradiente da variável estado. Em nosso resultado principal, provamos que, sob algumas suposições naturais, a controlabilidade nula local é válida. Para tanto, consideramos o problema de controlabilidade nula para o sistema linearizado, deduzimos novas estimativas sobre o controle e o estado e, então, aplicamos um teorema de inversão local. Finalmente, a última pesquisa investiga o equilíbrio de Pareto para problemas de controle ótimo bi-objetivo. Nosso framework compreende a situação em que um agente atua com controle distribuído em uma porção de um determinado domínio, e visa atingir dois alvos distintos (possivelmente conflitantes). Analisamos sistemas governados por equações de calor lineares e semilineares e também sistemas com controles multiplicativos.