Interpretações modulares da equação diferencial hipergeométrica - Gutierrez, Diego Salazar (2023)
Nesta dissertação estudamos as funções modulares λ e J que aparecem nos espaços de moduli X(1, 4) e X{1, 4} de 4 pontos na reta projetiva P1 módulo a ação de P GL(2, C) com e sem ordem, respectivamente. Mostramos que estas funções admitem uma inversa que pode ser escrita como quociente de duas soluções linearmente independentes da equação diferencial hipergeométrica para certos parâmetros. Preliminarmente, definimos os espaços de moduli X(1, 4) e X{1, 4} e descobrimos que a razão anarmônica nos dá uma realização de ambos espaços. Observamos que X{1, 4} também pode ser obtido como espaço de moduli de curvas elípticas. Com a função de Weierstrass ℘ obtemos uma imersão projetiva de uma curva elíptica como uma curva cúbica plana no plano projetivo P2 e descobrimos que essa curva cúbica é um recobrimento duplo ramificado da reta projetiva P1 com 4 pontos de ramificação. Juntamente com as realizações de X(1, 4) e X{1, 4}, obtemos o J−invariante e a função λ. Finalmente, consideramos a equação diferencial hipergeométrica E(a, b, c) em C \ {0, 1} e notamos que o quociente de duas soluções linearmente independentes definidas em H chamada função de Schwarz é uma função uniformizante de um triângulo em P1. Acontece que quando (a, b, c) = (1/12, 5/12, 1) a função de Schwarz é a inversa do J−invariante e quando (a, b, c) = (1/2, 1/2, 1) a função de Schwarz ́e a inversa da função λ. Por último mostramos que em cada caso, o grupo de monodromia da equação diferencial coincide com o subgrupo discreto Γ ⊂ P GL(2, C) que define o espaço quociente: Γ = P SL(2, Z) no caso X{1, 4} e o subgrupo principal de congruencia de nível Γ = Γ(2) no caso X(1, 4).