O espectro da matriz distância de uma família de grafos distância-birregulares - Silva, Tayná Lobo da (2023)
É sabido que para um grafo conexo qualquer, a quantidade de autovalores distintos da sua matriz de adjacência é pelo menos o valor do diâmetro do grafo mais um, valendo o mesmo para as matrizes Laplaciana e Laplaciana sem sinal. Mais ainda, quando consideramos grafos distância-regulares tem-se a igualdade entre a quantidade de autovalores distintos dessas três matrizes e o diâmetro do grafo mais um. No caso da matriz distância, já se sabe que quando o grafo é distância-regular a quantidade de autovalores distintos da sua matriz distância é no máximo o valor do diâmetro mais um. Por outro lado, os grafos de Johnson são uma classe de grafos distância-regulares com diâmetro arbitrariamente grande, cuja matriz distância possui exatamente três autovalores distintos. Uma questão pertinente é saber se existem outros grafos, além dos distância-regulares, cuja quantidade de autovalores distintos da matriz distância seja no máximo o diâmetro mais um. Nesse contexto, este trabalho apresenta uma família de grafos distância-birregulares com diâmetro arbitrariamente grande e tal que a matriz distância de cada grafo possui exatamente quatro autovalores distintos. Com isto, também contribuímos com a investigação de grafos cuja matriz distância possui uma pequena quantidade de autovalores distintos.