Suavização de sinais com laplacianos fracionários - Gamboa, Alfredo Soliz (2023)
Relembrando as ideias de Tikhonov de regularização, para minimizar o seguinte funcional $$\mathcal{E}(f)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}\left( (f-g)^2+\sum_{i=1}^{N}\lambda_i \left(\frac{\partial^i}{\partial x^i}f \right)^2 \right)dx$$ com o qual, faremos uma generalização usando derivadas de ordem fracionária como segue: $$ \mathcal{E}(u)=\int_{\mathbb{R}}\left( (u-f)^2+\sum_{k=1}^{m}\beta_k \left( \mathcal{D}^{\alpha_k} u \right)^2 \right)dx $$ onde teremos que definir a derivada de ordem fracionária para que faça sentido e com a qual chegaremos ao problema principal do trabalho $$ \begin{cases} \frac{\partial }{\partial t}u+ \sum\limits_{i=1}^{m}\beta_i(-\Delta)^{s_i} u = 0, & \ \ \ x\in (-L,L)\\ u=0, & \ \ \ x\in \mathbb{R}\backslash (-L,L)\\ u(0,x)=f(x), & \ \ \ x\in (-L,L) \end{cases} $$ onde se definira $(-\Delta)^{s} u$ como o operador Laplaciano Fracionário, com $\beta_i>0$ e $0<s_i<1$. Este trabalho tem por objetivo estudar o uso de potências fracionárias do Laplaciano para regularização de sinais, como se pode observar no trabalho de Stephan Didas, Bernhard Burgeth, Atsushi Imiya e Joachim Weickert. Nós nos concentramos tanto em suas técnicas variacionais correspondentes quanto em equações pseudo-diferenciais parabólicas e também estudaremos as novas definições que podem ser obtidas usando essas equações. Realizamos um estudo detalhado das propriedades de regularização de funcionais de energia, onde o termo suavidade consiste em várias combinações lineares de derivadas fracionárias. As equações pseudo-diferenciais parabólicas associadas com coeficientes constantes estão fornecendo o vínculo com a teoria do espaço-escala linear. Estes englobam os bem conhecidos espaços de escala $\alpha$, mesmo aqueles com valores de parâmetro $\alpha> 1$ conhecidos por violarem princípios máximos. No entanto, mostramos que é possível construir combinações de filtros de alta e baixa ordem que preservam a positividade. O trabalho revela a estreita relação entre filtros contínuos e semidiscretos, com isso, ajuda a facilitar implementações computacionais. Finalmente, mostraremos que os operadores de difusão e regularização fracionária discreta que podem ser implementados computacionalmente, além de estudarmos a solução de difusão e regularização fracionária por meio do método de Galerkind (elementos finitos) que é um método relativamente novo para este tipo de operadores, onde primeiro Acosta, G., Bersetche F. M. e Borthagaray J. estudaram. Usaremos os resultados de Biccari e Zuazua para analisar o problema de regularização. Este método foi implementado computacionalmente para obter os exemplos numéricos no final do trabalho.