A Desigualdade de Brunn-Minkowski - Díaz Vega, Franco Manuel (2017)
O objetivo principal desta dissertação é estudar a desigualdade de Brunn-Minkowski Reﬁnada: se E,F ⊆ Rn são dois corpos convexos, |E +F|1n ≥|E|1n +|F| 1 n 1+ A(E,F)2 C0(n)σ(E,F)1n  onde as quantidades A(E,F) e σ(E,F) serão deﬁnidas posteriormente. Também, C0(n) é uma constante que depende de n, e |.| é a medida de Lebesgue. No capítulo 1 estudaremos os conjuntos convexos, a suma de Minkowski, a medida de Lebesgue e Hausdorﬀ, os teoremas de Brenier, Rademacher e Alexandrov e algumas desigualdades úteis, as quais vão ser importantes para mostrar as desigualdades de Brunn Minkowski clássica e reﬁnada. No capítulo 2 mostraremos a desigualdade clássica de Brunn-Minkowski: se E,F ⊆ Rn corpos convexos, |E +F|1n ≥ |E|1n +|F| 1 n Mostraremos esta desigualdade de três formas diferentes: pelo método de indução, através da desigualdade de Prékopa-Leindler e usando algumas idéias do Transporte Ótimo de Massa. Além disso, também estudaremos algumas formas equivalentes desta desigualdade. Note-se que a constante no lado direito da desigualdade é igual a 1. No capítulo 3 estudaremos a desigualdade de Brunn-Minkowski reﬁnada, isto é,mostraremos que é possível obter uma maior constante do lado direito da desigualdade. Mais precisamente, obteremos a seguinte constante: 1+ A(E,F)2 C0(n)σ(E,F)1n