Identidade de Cayley-Hamilton para álgebras de matrizes. - SILVA, José Lucas Galdino da. (2020)
Sobre um corpo K de característica zero, estudamos nesta dissertação a álgebra das matrizes, Mn(K), sob dois pontos de vista: primeiramente as suas identidades com traço (usando por base a teoria de invariantes) e, em um segundo momento, vemos condições para a realização de mergulhos nesta álgebra, vendo-a como um anel. Sendo mais específicos, estudamos a natureza do anel das invariantes de Mn(K), sob a ação diagonal do grupo geral linear, bem como, a caracterização deste anel como aplicações que dependem do traço. Por conseguinte, provaremos que todas as identidades com traço para Mn(K) podem ser obtidas de um "polinômio denominado polinômio de Cayley-Hamilton de grau n", além do mesmo satisfazer a propriedade de Specht. Por fim, utilizando uma certa aplicação universal, estabelecemos uma condição de existência de mergulho sobre o anel de matrizes de ordem n. Com esses estudos concluídos, obtemos que toda álgebra nil de índice limitado n é subanel de Mn(C), para algum anel comutativo C.