Controlabilidade para alguns modelos da mecânica de fluidos. - SOUZA, Diego Araujo de. (2014)
O objetivo desta tese é a controlabilidade de alguns modelos da mecânica dos fluidos. Vamos provar a existência de controles que conduzem a solução do nosso sistema de um estado inicial prescrito à um estado final desejado em um tempo positivo dado. Os dois primeiros Capítulos preocupam-se com a controlabilidade dos modelos de Burgers- α e Leray-α. O modelo de Leray-α é uma variante regularizada do sistema de Navier-Stokes (α é um parâmetro positivo pequeno) que pode também ser visto como um modelo de fluxos turbulentos; o modelo Burgers-α pode ser visto como um modelo simplificado de Leray- α. Provamos que os modelos de Leray-α e Burgers-α são localmente controláveis a zero, com controles limitados independentes de α. Também provamos que, se os dados iniciais são suficientemente pequenos, o controle nulo do sistema de Leray-α (resp. da equação de Burgers-α) converge quando α → 0+ a um controle nulo das equações de Navier-Stokes (resp. da equação de Burgers). O terceiro Capítulo preocupa-se com a controlabilidade nula de fluidos incompressíveis invíscidos nos quais efeitos térmicos são importantes. Estes fluidos são modelados através da então chamada Aproximação de Boussinesq. No caso em que não há difusão de calor, adaptando e estendendo algumas idéias de J.-M. Coron [13, 15] e O. Glass [43, 44, 45], estabelecemos a controlabilidade exata global simultaneamente do campo velocidade e da temperatura nos casos 2D e 3D. No entanto, quando o coeficiente de difusão do calor é positivo, apresentamos alguns resultados sobre a controlabilidade exata global para o campo velocidade e controlabilidade nula local para a temperatura. O quarto Capítulo é dedicado à provar a controlabilidade exata local às trajetórias de um sistema acoplado do tipo Boussinesq, com um número reduzido de controles. Nesse sistema, as variáveis desconhecidas são: o campo velocidade e a pressão do fluido (y, p), a temperatura θ e uma variável adicional c que pode ser vista como a concentração de um soluto contaminante. Provamos vários resultados, que essencialmente mostram que é suficiente atuar localmente no espaço sobre as equações satisfeitas por θ e c.