Hörmander’s theorem for stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion. - NASCIMENTO, Jorge Alexandre Cardoso do. (2019)
Nesta tese, nós provamos o teorema de Hörmander para uma equação de evolução estocástica dada por um movimento Browniano fracionário de classe traço com o expoente de Hurst 1 2 < H < 1 e um semigrupo analítico {S(t); t ≥ 0} em um espaço de Hilbert separável E. Ao contrário do caso clássico de dimensão finita, o operador Jacobiano em EDPs estocásticas parabólicas é tipicamente não invertível, o que causa uma grande dificuldade em expressar a matriz de Malliavin em termos de um processo adaptado. Através de uma condição de Hörmander sobre os colchetes de Lie aplicados aos campos da equação e uma suposição adicional de que S(t)E é denso, provamos que a lei das projeções finito-dimensionais da EDP estocástica no tempo t admite uma densidade com respeito à medida de Lebesgue. O argumento baseia-se em técnicas de "rough path" no sentido de Gubinelli (Controlling rough paths. J. Funct. Anal (2004)) e uma análise do espaço Gaussiano do movimento Browniano fracionário.