Equações de Riccati e Grupos de Lie - Pinto, Alisson da Silva (2018)
O matemático norueguês Sophus Lie (1842 - 1899) desenvolveu um método baseado no conceito de simetria para encontrar soluções de equações diferenciais. Essencialmente, uma simetria para uma equação diferencial ordinária é uma transformação que preserva sua estrutura, ou seja, não altera a forma da equação diferencial. Para tais transformações, a imagem de uma solução ainda é solução da equação diferencial. Uma das principais vantagens do método de simetrias de Lie é a possibilidade de encontrar soluções para equações que não se enquadram nas classes usuais equações para as quais se conhece um método de resolução. O conhecimento de uma simetria ajuda a encontrar uma mudança de coordenadas que transforma a equação original numa separável. Nesta dissertação foram apresentados os conceitos fundamentais de grupos de Lie para equações diferenciais de primeira ordem. Restringimos nossa atenção a equações de Riccati. Nossa motivação para este recorte é o fato de encontrarmos uma equação diferencial de Riccati que atua como um problema auxiliar no desenvolvimento da solução da equação de Gross-Pitaevskii. A equação de Gross-Pitaevskii modela o fenômeno do condensado de Bose-Einstein. A necessidade de resolver uma EDO de Riccati em uma etapa intermediária da análise da EDP que modela o estado de condensado de Bose-Einstein motivou pesquisadores a desenvolver um método para encontrar soluções da equação de Riccati. Toda equação diferencial de Riccati admite simetria da forma linear, podendo ser transformada numa equação separável. O objetivo deste trabalho é relacionar o método de solução equações de Riccati apresentado por pesquisadores interessados no condensado de Bose-Einstein com o método de simetrias cujos geradores infinitesimais sejam lineares