O cálculo fracionário aplicado a fenômenos difusivos - Marin, Dara (2020)
Nesse trabalho temos como tema principal os processos difusivos em que o deslocamento quadrático médio das partículas não é proporcional ao tempo, ou seja, investigamos os processos de difusão anômala. Abordamos os conteúdos fundamentais pertinentes a esse assunto, como as primeiras observações realizadas por Robert Brown em 1827, que levaram ao desenvolvimento da teoria difusiva e à equação da difusão, primeiramente encontrada por Albert Einstein. Posteriormente, apresentamos de maneira sucinta o cálculo fracionário, com o objetivo de mostrar a eficiência dessa teoria para a descrição dos fenômenos de difusão anômala. Uma breve revisão sobre alguns métodos matemáticos úteis para encontrar a solução de equações diferenciais parciais do tipo difusão é também incluída e nesse contexto encontram-se as transformadas de Fourier e Laplace e a técnica da função de Green. Em seguida, aplicamos os conceitos da difusão e fazemos uso das técnicas do cálculo para resolver analiticamente um sistema difusivo cuja geometria é na forma de um pente (comb - model). Esse sistema é modelado primeiramente para o caso no qual as partículas presentes não estão sujeitas a termos de reação e a única influência no sistema é dada pela geometria restritiva característica do modelo do pente. Em seguida, acrescentamos os termos de reação, que podem ser relacionados à reação irreversível (unilateral) ou reversível (bilateral). Mostramos que para obter a solução das equações para o modelo do pente com termos de reação agregado, faz-se necessária a utilização de algumas funções provenientes do formalismo do cálculo fracionário, como função H de Fox e função de Mittag-Leffler. Utilizamos dos formalismos apresentados para realizar uma análise sobre o comportamento do deslocamento quadrático médio para cada direção nos casos de reação irreversível e reversível. O comportamento encontrado para reação irreversível revela-se altamente correlacionado com os sinais das taxas de reação do sistema. Isto significa que para sinais iguais, há a ocorrência de um comportamento, que é completamente modificado quando sinais opostos são considerados. Para ambos os casos, identifica-se a ocorrência de difusão anômala. Para o sistema contendo reação reversível, a dinâmica manifesta-se de forma igual tanto para tempos curtos quanto para tempos longos. Porém, o mesmo sistema sofre um processo de transição em tempos intermediários, efeito relacionado aos termos de reação presentes na equação.