Dynamical aspects of Hamiltonian systems: Chaos, stickiness, and recurrence plots - Sales, Matheus Rolim (2023)
Sistemas Hamiltonianos representam uma vasta classe de sistemas dinâmicos que possuem a característica especial de preservar o volume no espaço de fase. O espaço de fase de um típico sistema Hamiltoniano não é integrável nem uniformemente hiperbólico. Ele exibe componentes tanto regulares quanto caóticas. Para sistemas bidimensionais quasi-integráveis com um espaço de fase hierárquico, órbitas caóticas podem passar um tempo arbitrariamente longo ao redor de ilhas de estabilidade, nas quais se comportam de maneira similar a órbitas quase-periódicas. Esse fenômeno é chamado de “stickiness” e é uma das principais consequências da complexa estrutura hierárquica de ilhas ao redor de ilhas no mar caótico. O stickiness afeta as proprieda- des globais de transporte do sistema e a convergência dos expoentes de Lyapunov. Nesta tese, analisamos medidas dinâmicas alternativas para a quantificação do movimento caótico e a de- tecção do efeito de stickiness em sistemas Hamiltonianos. Inicialmente, consideramos o mapa padrão, que é um sistema simples e paradigmático que exibe todas as características de siste- mas Hamiltonianos quase-integráveis. Primeiro, introduzimos uma medida dinâmica proposta recentemente baseada na teoria ergódica e uma média ponderada de Birkhoff. Ao usar essa me- dida, distinguimos com sucesso caos e regularidade para diferentes valores do parâmetro de não linearidade k do mapa padrão, e aplicamos essa medida em conjunto com o método de fração de incerteza para determinar a dimensão fractal da fronteira das ilhas para um valor especial de k, a saber, k = 6.908745. Para esse valor, o espaço de fase do mapa padrão é composto por uma estrutura hierárquica auto-similar de ilhas dentro do mar caótico, e mostramos que quanto mais fundo entramos nessa estrutura, mais tempo leva para as órbitas escaparem da região de aprisionamento, e maior se torna a dimensão da fronteira. Além disso, a dimensão depende da posição no espaço de fase, bem como da escala da incerteza da condição inicial, o que implica na existência de uma dimensão fractal efetiva. Como medida adicional, propomos o uso de uma medida baseada na entropia dos plots de recorrência (RPs). Estimamos os tempos de recorrência de uma órbita a partir do RP e calculamos a entropia de Shannon de sua distribuição, conhecida como entropia dos tempos de recorrência (RTE). Descobrimos que a RTE é uma maneira alter- nativa de detectar órbitas caóticas e regiões de stickiness. Mostramos que o maior expoente de Lyapunov e a RTE exibem um coeficiente de correlação elevado, mesmo ao considerar séries temporais relativamente pequenas (5000 pontos). Ao calcular a RTE em janelas de tempo me- nores ao longo da evolução de uma única órbita caótica, descobrimos que a distribuição da RTE a tempo finito possui vários modos quando regiões de stickiness estão presentes no espaço de fase, e identificamos, com sucesso, as regiões específicas no espaço de fase que correspondem a cada modo. Também quantificamos a duração de cada regime de stickiness e descobrimos que a distribuição cumulativa de tempos de aprisionamento nas regiões de stickiness exibe uma cauda de lei de potência, enquanto a distribuição quando a órbita vagueia no mar caótico exibe um decaimento exponencial. Procurando-se uma análise mais robusta das medidas dinâmicas mencionadas anteriormente, consideramos outro sistema Hamiltoniano bidimensional com um espaço de fase hierárquico: o sistema de bilhar. Verificamos que essas medidas caracterizam todo o comportamento dinâmico de tal sistema, com a vantagem de não dependerem da matriz Jacobiana para o seu cálculo, ao contrário dos expoentes de Lyapunov.