Transições de fase e invariância de calibre em modelos estatísticos - Cinel, Heitor Casaçola (2024)
Resumo: O modelo de Ising é amplamente utilizado no estudo de transições de fase e fenômenos críticos Neste trabalho apresentamos a solução exata do modelo de Ising em d = 1, a aproximação de Bragg-Williams e também a teoria fenomenológica de Landau Por meio da solução exata em d = 1 detectamos que o modelo apresenta somente a fase paramagnética, enquanto as soluções de campo médio sugerem uma transição de fase Em todos casos encontramos uma simetria por inversão global dos spins e, portanto, seus estados são degenerados Para investigar um pouco mais essa degenerescência relacionamos o modelo de Ising ao modelo _4 por uma transformação de Hubbard-Stratonovich O estudo dessa teoria de potencial quártico permite a compreensão de como o modelo de Ising poderia sofrer uma inversão global espontaneamente Essa inversão é analisada resolvendo a equação de movimento no espaço Euclidiano e tem como resultado a solução clássica de instanton O modelo de Ising pode também ser estendido para o estudo de teorias com simetrias locais, que compõem uma parte importante da física A adequação para esse caso é feita descrevendo interações entre plaquetes Ao estudo dessa teoria, aplicamos o teorema de Elitzur e por meio de expansões em altas e baixas temperaturas de loops de Wilson detectamos duas diferentes fases Neste trabalho ainda apresentamos a descrição quântica do modelo com simetria local, fixamos o calibre e então mapeamos uma relação de dualidade com o modelo de Ising com simetria global Apresentamos também o modelo O(N) e em seguida aprofundamos no caso específico de N = 2, conhecido como modelo XY Neste caso verificamos uma transição de fase através de expansões a altas e baixas temperaturas No contexto do modelo O(N) apresentamos o teorema de Goldstone e demonstramos como o bóson de Goldstone é interpretado em um modelo com quebra espontânea de simetria Apresentamos também a renormalização do modelo O(N) para encontrar seus expoentes críticos Por fim, construímos o modelo Abeliano U(1) com simetria local, que pode ser comparado à teoria eletromagnética Euclidiana discretizada Este modelo gera interesse, pois no limite de acoplamentos fortes surge naturalmente uma fase confinante Já no limite de acoplamentos fracos não é possível encontrar o mesmo comportamento, o que significa uma transição de fase Analisamos também o caso de d = 2, em que é impossível uma quebra espontânea de simetria, portanto o modelo apresenta somente uma fase