[pt] CAMPOS DE LINHAS DISCRETOS SOBRE SUPERFÍCIES - TIAGO NOVELLO DE BRITO (2019)
[pt] Um campo de linhas sobre uma superfície é um mapa suave que atribui uma linha tangente a todos, exceto a um número finito de pontos. Esses campos modelam um número de propriedades geométricas e físicas, tais como as direções de curvatura principais nas superfícies ou o fluxo de tensão na elasticidade. Para entender um campo de linha, é usual estudar o comportamento de suas órbitas, que podem apresentar diferentes padrões. Para este fim, consideramos uma abordagem topológica que consiste em utilizar os pontos críticos e separatrices para decompor o campo em regiões de comportamento homogêneo. Focamos em campos que possuem uma estrutura de Morse–Smale. Isso permite operações como o cancelamento de pontos críticos controlados diretamente na decomposição de campo, o que é essencial para a remoção de ruído (simplificação da topologia) em campos provenientes de simulações ou amostragem de problemas do mundo real. Baseado na decomposição de um campo vetorial de Morse–Smale e no cancelamento de pontos críticos, Robin Forman introduziu uma definição discreta para esses campos. O presente trabalho fornece uma definição puramente combinatória para campos de linhas, os campos de linhas discretos, que implicam as construções discretas de Forman para campos de vetores por meio de uma nova representação destes. Campos de linhas discretos admitem uma decomposição que gera uma ponte entre os campos de linhas discretos e suaves, garantindo dessa forma a consistência topológica da definição. Também estabelecemos uma conexão entre um campo de linha discreto e um campo vetorial discreto, desse modo as ferramentas de campos de vetores podem ser usadas em campos de linhas. O trabalho fornece ainda um cancelamento topologicamente consistente de seus elementos críticos para um campo de linha discreto.