[pt] UNICIDADE DE SOLUÇÕES LP-FORTES - GABRIEL GOMES FIGUEIREDO (2023)
[pt] Esta dissertação de mestrado aborda um estudo aprofundado do artigo [2]. No Capítulo 2, são introduzidas as definições e conceitos fundamentais necessários para a análise teórica subsequente. Uma proposição é demonstrada, estabelecendo a existência de uma expansão de Taylor para funções em um determinado espaço, enfatizando o papel do expoente de Escauriaza. O capítulo continua apresentando dois lemas que relacionam subsoluções e supersoluções em termos de viscosidade e propriedades de normas. A primeira versão do lema considera a relação entre a dimensão do espaço e a norma, enquanto a segunda versão utiliza o expoente de Escauriaza para obter resultados mais refinados. Também são apresentados dois resultados que explicam a relação entre diferentes noções de soluções viscosas e sua conexão com os espaços de Sobolev. As propriedades dos operadores de Pucci são discutidas como conclusão deste capítulo. No Capítulo 3, a dissertação estabelece a definição da geometria da fronteira do domínio em questão. Em seguida, um importante lema é demonstrado, estabelecendo a existência de soluções fortes em um determinado espaço, explorando a regularidade das funções envolvidas com base nesse lema. Os conceitos de super-diferenciabilidade e sub-diferenciabilidade são introduzidos, desempenhando um papel crucial na compreensão do comportamento das soluções viscosas e suas relações com derivadas de ordem superior. Um resultado geral que amplia essas definições é apresentado. Duas versões em que a função u é duas vezes super-diferenciável são discutidas, considerando o espaço Ld e posteriormente o espaço Lp , de modo que p menor que d. A dissertação prossegue demonstrando a relação entre sub-solução Lp-viscosidade e sub-solução Lp-forte quando u pertence a um espaço específico. Em seguida, é mostrado que os limites uniformes de soluções também são soluções. Por fim, é apresentado o resultado principal da dissertação, demonstrando a unicidade das soluções fortes.